什么是表面积？
表面积是包裹一个立体的所有面和所有曲面边界的总面积。如果能把一个立体展开并平铺在桌面上，表面积就是这张摊平的“外皮”所覆盖的面积。它始终以平方单位度量，例如平方厘米或平方英尺，因为即便物体是三维的，这个量本身仍然是面积。
只要有东西接触物体的外表面，这个量就很重要。油漆工和抹灰工用它估算材料用量，包装工程师用它裁切纸板，传热计算也需要它，因为能量穿过边界的多少与边界面积成正比。在生物学中，表面积与体积之比解释了为什么小动物散热很快，也解释了肺为什么折叠成数百万个微小的肺泡。
表面积计算器如何工作
从列表中选择一个立体，然后只填写该立体所需的尺寸。填完最后一个必需的测量值后，总表面积立即显示出来。每个输入框都有自己的单位选择器，因此你可以用英寸输入半径，而用平方米读取答案，无需手动换算。结果框同样带有单位选择器，可以随时在公制和英制平方单位之间切换。
支持十二种立体：立方体、长方体、正棱柱、正棱锥、正四面体、球体、球段、半球、圆锥、圆柱、胶囊体和椭球体。棱柱和棱锥还会询问底面多边形有几条边，因为三棱柱和六棱柱使用同一个公式，只是边数不同。
公式
立方体
六个全等的正方形面给出：
A=6a2A = 6a^2A=6a2
其中 aaa 是棱长。
长方体
三对相等的矩形面给出：
A=2(ab+ac+bc)A = 2(ab + ac + bc)A=2(ab+ac+bc)
其中 aaa、bbb 和 ccc 是三条棱长。
正棱柱
棱柱有两个全等的底面，四周是一圈矩形：
A=2B+PhA = 2B + PhA=2B+Ph
其中 BBB 是底面积，PPP 是底面周长，hhh 是高。对于边长为 aaa 的 nnn 边正多边形：
B=na24tan(π/n)B = \frac{n a^2}{4 \tan(\pi / n)}B=4tan(π/n)na2
P=naP = n aP=na
正棱锥
棱锥有一个底面和一圈三角形侧面：
A=B+12PlA = B + \frac{1}{2} P lA=B+21Pl
其中 lll 是斜高。它由底面边心距 mmm 和垂直高 hhh 求得：
m=a2tan(π/n)m = \frac{a}{2 \tan(\pi / n)}m=2tan(π/n)a
l=h2+m2l = \sqrt{h^2 + m^2}l=h2+m2
正四面体
四个等边三角形给出：
A=3 a2A = \sqrt{3} \, a^2A=3a2
其中 aaa 是棱长。
球体
A=4πr2A = 4 \pi r^2A=4πr2
其中 rrr 是半径。
球段
由一个平面从球上截下的球冠，包含平的圆形底面：
A=πh(4R−h)A = \pi h (4R - h)A=πh(4R−h)
其中 RRR 是整个球的半径，hhh 是球冠的高。
半球
半个球加上它的平面圆盘：
A=3πr2A = 3 \pi r^2A=3πr2
其中 rrr 是半径。
圆锥
圆形底面加上取决于母线的侧面：
A=πr(r+r2+h2)A = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2})A=πr(r+r2+h2)
其中 rrr 是底面半径，hhh 是垂直高。
圆柱
两个圆形底面加上把它们连起来的展开矩形：
A=2πr(r+h)A = 2 \pi r (r + h)A=2πr(r+h)
其中 rrr 是底面半径，hhh 是高。
胶囊体
两端各带一个半球的圆柱。两个半球合成一个完整的球，因此：
A=2πr(2r+h)A = 2 \pi r (2r + h)A=2πr(2r+h)
其中 rrr 是半径，hhh 是圆柱部分的高。
椭球体
用初等函数无法写出精确公式，因此计算器采用克努德·托姆森近似式：
A≈4π((ab)1.6+(ac)1.6+(bc)1.63)1/1.6A \approx 4 \pi \left( \frac{(ab)^{1.6} + (ac)^{1.6} + (bc)^{1.6}}{3} \right)^{1/1.6}A≈4π(3(ab)1.6+(ac)1.6+(bc)1.6)1/1.6
其中 aaa、bbb 和 ccc 是三条半轴。对任何椭球体，误差都保持在约 1.1 % 以内。
计算示例
立方体
棱长为 5 厘米的立方体：
A=6×52=150 cm2A = 6 \times 5^2 = 150 \text{ cm}^2A=6×52=150 cm2
长方体
尺寸为 10 厘米 × 7 厘米 × 3 厘米的盒子：
A=2(10×7+10×3+7×3)=242 cm2A = 2(10 \times 7 + 10 \times 3 + 7 \times 3) = 242 \text{ cm}^2A=2(10×7+10×3+7×3)=242 cm2
圆锥
底面半径 3 厘米、高 4 厘米的圆锥，其母线为 5 厘米：
A=π×3×(3+5)=24π≈75.40 cm2A = \pi \times 3 \times (3 + 5) = 24 \pi \approx 75.40 \text{ cm}^2A=π×3×(3+5)=24π≈75.40 cm2
圆柱
底面半径 3 厘米、高 10 厘米的圆柱：
A=2π×3×(3+10)=78π≈245.04 cm2A = 2 \pi \times 3 \times (3 + 10) = 78 \pi \approx 245.04 \text{ cm}^2A=2π×3×(3+10)=78π≈245.04 cm2
椭球体
半轴分别为 3 厘米、4 厘米和 5 厘米的椭球体：
A≈199.47 cm2A \approx 199.47 \text{ cm}^2A≈199.47 cm2
注意事项
圆锥或棱锥的高是从底面到顶点的垂直距离，而不是斜棱。把两者弄混是结果出错最常见的原因。
同一个立体的所有尺寸请使用同一种单位，或者交给每个输入框的单位选择器去换算。
胶囊体的高只包含笔直的圆柱部分。如果你测量的是胶囊从一端到另一端的长度，请先减去两倍半径，或者使用可接受两种测量方式的胶囊体表面积计算器。
这里的每个结果都是总表面积，包含所有平的底面。单独的侧面积可在各个立体的页面上查到。
常见问题
表面积和体积有什么区别？
表面积度量立体的外皮，用平方单位表示；体积度量其内部空间，用立方单位表示。把每个尺寸都加倍，表面积变为四倍，体积变为八倍，因此物体越大，这两个量相差越远。
表面积用什么单位？
任何平方单位都可以：平方毫米、平方厘米、平方米、平方英寸、平方英尺或平方码。请选择与物体尺度相称的单位，并记住换算时长度系数要取平方，所以 1 平方英尺等于 144 平方英寸，而不是 12 平方英寸。
计算器给出的是总表面积还是侧面积？
给出的是总表面积，包含圆锥的底面、圆柱的两个底面以及半球的平面圆盘。如果只需要曲面部分，例如为绕在罐子上的标签定尺寸，请使用对应立体的页面，那里会单独给出侧面积。
为什么椭球体的公式只是近似？
一般椭球体的精确表面积是一个椭圆积分，无法用常见的代数函数和三角函数写出。这里使用的克努德·托姆森公式是著名的封闭形式近似，其相对误差保持在约 1.1 % 以内，远小于大多数物理测量的不确定度。
我可以用厘米输入长度，再用平方英尺读取答案吗？
可以。输入框和结果框拥有各自独立的单位选择器，计算器会在内部完成换算。用你测量时所用的单位输入尺寸，然后把结果切换到你需要的平方单位即可。
平面图形的表面积是多少？
二维平面图形有面积，但没有这里所说的表面积，因为它不包围任何体积。对于正方形、圆、三角形等平面图形，请改用面积计算器。